Anka i Danka, zadanie z próbnej matury z matematyki, które nadawałoby się na język polski

Zadanie z próbnej matury w listopadzie 2016 o Ance i Dance zrobiło mniej więcej taką samą karierę jak zadanie o ojcu i synu zbierających jabłka. Jako matematyk z wykształcenia, poczułem się w obowiązku poruszyć ten temat na blogu. Chciałbym was przekonać do dwóch rzeczy: 1) to zadanie można rozwiązać bardzo łatwo (wprowadzając tylko jedną niewiadomą), 2) to zadanie bardziej nadawałoby się na maturę z polskiego niż z matematyki. Ale po kolei.

Na wstępie chciałbym też zaznaczyć, że nie ma znaczenia czy jesteście maturzystami, czy osobami przed czy dawno po maturze (i np. macie już trzy razy więcej lat niż kiedy pisaliście ten egzamin). To zadanie niesie ze sobą kilka wartościowych lekcji dla każdego.

Anka i Danka, proste rozwiązanie zadania

Rzućcie szybko okiem na samą treść zadania.

Nie wdając się w szczegóły sprawa wygląda tak: mamy Ankę i Dankę, trzy punkty w czasie („kiedyś”, „teraz” i „w przyszłości”) i związki między wiekiem tychże panien. Zanim przejdę do rozwiązania, pozwólcie mi wtrącić taką dygresję. Czym właściwie są niewiadome? Najbardziej łopatologiczne wytłumaczenie jest takie: „to takie znaczki” – i to właściwie wystarcza jako cała definicja. Niewiadome to znaczki (w domyśle „coś oznaczają”).

To teraz pomyślmy ile zmiennych (niewiadomych) potrzebujemy do rozwiązania tego zadania? Specjaliści z Operonu potrzebowali aż trzech (co może budzić niepokój w umysłach wielu młodych ludzi nieobytych ze znaczkologią). Postawmy inaczej pytanie (bardziej przyjaźnie): „co wystarczy znać, żeby rozwiązać to zadanie?”, odpowiedzi jest wiele, ale np. wystarczyłoby znać wiek Anki „kiedyś”. Gdybyśmy znali ten wiek, to krok po kroku otworzylibyśmy pozostałe informacje z zadania (aplikując do tej informacji zależności z zadania). Co z tego wynika? Że wystarczy nam jedna niewiadoma. Nich więc „t” oznacza wiek Anki „kiedyś”.

Teraz wprowadźmy wszystko to co opisałem powyżej w tabelkę. Póki co wypełniłem jedno pole, w które wpisałem zmienną „t” (w miejscu w tabelce, które oznacza wiek Anki „kiedyś”).

Teraz możemy przejść do rozwiązywania zadania. W tym momencie kłania się tak naprawdę tylko i wyłącznie umiejętność czytania ze zrozumieniem (zresztą do tej pory w tym, co pisałem nie było ani grama matematyki (w potocznym jej rozumieniu).

Przypomnijmy sobie pierwsze zadanie: „Gdy Anka miała tyle lat, ile Danka ma teraz, to była od niej trzy razy starsza”. Skupcie się i pomyślcie jak można to zdanie opisać prościej? „Gdy Anka miała tyle lat…” – „Kiedyś Anka miała ileś lat”, „kiedyś Anka”, więc to jest nasze „t”, które oznaczało to ile Anka miała kiedyś lat. Dalej „Anka miała tyle ile Danka ma teraz”, więc Danka ma teraz „t” lat. Ostatnia część zdania odnosi się do Anki z przeszłości i wiemy, że miała wtedy 3 razy więcej lat niż Danka teraz (Danka ma teraz „t” lat). Więc możemy zamienić początek zdania i dostać je w takiej postaci „Gdy Anka miała t lat, to Danka miała (1/3)*t lat, Danka teraz ma t lat”. Wpiszmy to w tabelkę.

Spójrzcie teraz na kolumnę Danki. „Kiedyś” miała (1/3)*t lat, „teraz” ma t lat, więc ile czasu minęło o „kiedyś” do „teraz”? No oczywiście t-(1/3)*t lat, czyli (2/3)*t lat. Zakładamy, że dla Danki i Anki czas leci tak samo (patrz: paradoks bliźniąt), więc skoro „kiedyś” Anka miała t lat, to „teraz” musi mieć t+(2/3)*t lat (bo od „kiedyś” do „teraz” minęło (2/3)*t lat). Tabelka więc wygląda teraz tak.

Musimy przeanalizować jeszcze drugie zdanie z zadania: „Gdy Danka będzie miała tyle lat, ile Anka ma teraz, Anka będzie miała 42 lata”. Początek mówi nam „w przyszłości Danka będzie miała tyle lat ile Anka ma teraz”, co to oznacza? Że „w przyszłości Danka będzie miała t+(2/3)*t lat (tyle ile Anka „teraz” – patrz tabelka wyżej). Więc możemy teraz uzupełnić rubrykę z wiekiem Danki „w przyszłości” i wpisać tam t+(2/3)*t. Już jesteśmy prawie na finiszu, trochę cierpliwości. :) Rzućcie najpierw okiem na zaktualizowaną tabelkę.

Ile czasu minęło od „teraz” do „w przyszłości”? Danka teraz ma t lat, „w przyszłości” będzie mieć t+(2/3)*t, więc między „teraz”, a „w przyszłości” minie t+(2/3)*t-t lat, czyli (2/3)*t lat. Więc Anka, która teraz ma t+(2/3)*t lat, będzie mieć (t+(2/3)*t) + (2/3)*t lat, czyli t+(4/3)*t lat. Mało tego, z ostatniej części drugiego zdania zadania wiemy, że Anka będzie miała wtedy dokładnie 42 lata. Więc t+(4/3)*t = 42 i dopiero teraz w grę wchodzą kompetencje matematyczne na poziomie wczesnego gimnazjum (lub późnej podstawówki, do tej pory jeśli była tu matematyka to tylko na poziomie podstawówki). Tabelka po aktualizacji wygląda jak poniżej.

Jeśli rozwiążemy równanie t+(4/3)*t = 42, to dostaniemy, że t = 18 i cała tabelka wygląda konkretnie jak następuje. Btw, w tym momencie możecie też w ramach ćwiczenia spróbować stworzyć tabelkę od nowa korzystając tylko z tego, że wiemy, że t = 18 (zobaczycie na konkretnym przykładzie cały proces, który opisałem tutaj jako wariacje na temat znaczka „t” i ułamków).

I gotowe!

Podsumowanie

Może dalej znajdą się osoby, które będą twierdzić, że to co opisałem powyżej jest niesłychanie skomplikowane. Może warto przeczytać całe rozumowanie jeszcze raz, żeby zobaczyć, że naprawdę nie dzieją się tutaj cuda. Kluczowy problem w całym zadania polegał na rozczytaniu treści. Dlatego właśnie uważam, że tak naprawdę to zadanie sprawdzało umiejętność czytania ze zrozumieniem (podstawowe zadania na maturze z języka polskiego).

PS Anka ma teraz 30 lat, a panie z zadania zostały nazwane dziewczętami. Ja mam 29 lat, dlatego od teraz mówcie do mnie per „chłopcze”. :D

---

O AUTORZE Cześć, nazywam się Tomasz Saweczko (aka Łysy, na insta @yourbaldy), z wykształcenia jestem matematykiem. Nie jestem ani pakerem, nie chodzę do kosmetyczki co drugi dzień, ani nie traktuję ulicy jak wybiegu. Zaś męskie dbanie o siebie, to dla mnie coś więcej niż tylko wygląd... Czytaj więcej!